Курсовая по прикладной математике и информатике в МФТИ: модель, алгоритм и вычислительный эксперимент

Курсовая по прикладной математике и информатике в МФТИ должна показывать не просто программный результат, а исследовательскую цепочку: постановка задачи, математическая модель, вычислительный метод, эксперимент и проверка точности.

В наборе МФТИ на 2026 год направление 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» официально представлено на ФПМИ. Внутри него указаны программы «Прикладная математика и информатика», «Математика», «Анализ данных в экономике», «Информатика» и AI360: «Передовые методы искусственного интеллекта».

Официальные правила приёма:
https://pk.mipt.ru/bachelor/2026_rules/

Тема должна содержать задачу

Слабый вариант:

«Численные методы в прикладной математике».

Сильнее:

«Сравнение двух методов решения жёсткой системы ОДУ при одинаковом контроле погрешности».

Или:

«Исследование устойчивости алгоритма оптимизации при изменении обусловленности задачи».

Так сразу понятно, что именно будет проверяться.

Формализация

До кода запишите:

• вход;
• неизвестные;
• ограничения;
• критерий качества;
• допущения.

Если задача связана с физикой, экономикой или ML, математическая часть должна объяснять, что означают переменные.

Модель и объект

Реальный объект всегда сложнее модели.

Поэтому укажите, что именно отброшено:

• трение;
• шум;
• нелинейность;
• пространственная неоднородность;
• редкие события.

Не скрывайте упрощение за формулой.

Проверка размерности

Если используются физические величины, проверьте единицы.

Нельзя складывать метры и секунды, даже если Python это позволяет.

Размерностная проверка полезна до любого вычисления.

Аналитический частный случай

Найдите режим, где ответ известен.

Например:

• симметрия;
• линейный случай;
• малая размерность;
• нулевой параметр.

Программа должна воспроизводить его.

Это один из самых простых способов проверить реализацию.

Численный метод

Для каждого метода опишите:

• идею;
• порядок действий;
• условия;
• критерий остановки.

Не вставляйте листинг вместо объяснения.

Читатель должен понять алгоритм без IDE.

Критерий остановки

Например:

||x(k+1)-x(k)|| < epsilon.

Но epsilon не должен быть случайным.

Покажите, как он влияет на точность, число итераций и время.

Погрешность

Заранее выберите метрику:

• абсолютная;
• относительная;
• L2;
• max norm;
• residual.

Фраза «результат точный» без определения ошибки ничего не значит.

Сходимость

Для дискретного метода проведите серию:

h
h/2
h/4.

Если ошибка уменьшается предсказуемо, это подтверждает метод.

Не делайте вывод по одной сетке.

Floating point

Компьютерное число не является точным вещественным числом.

Особенно осторожно с:

• вычитанием близких величин;
• очень большими и малыми значениями;
• суммированием длинных рядов.

Если результат чувствителен, обсудите численную устойчивость.

Обусловленность

Плохо обусловленная задача усиливает небольшую ошибку входа.

Если работа связана с линейной системой или оптимизацией, condition number может быть важнее скорости.

Покажите, как меняется ответ при малом возмущении.

Sparse данные

Для большой разреженной матрицы dense-хранение может быть бессмысленным.

Сравните память, время и число ненулевых.

Использование sparse-структуры должно быть связано с реальной структурой задачи.

Оптимизация

Если решается задача минимизации, задайте функцию, gradient, constraints и starting point.

Для невыпуклого случая проведите несколько запусков с разных начальных точек.

Не называйте локальный минимум глобальным без доказательства.

Стохастический алгоритм

Зафиксируйте seed.

Проведите серию запусков.

Покажите median, разброс и худший результат.

Один удачный seed слаб как доказательство.

Монте-Карло

Покажите зависимость ошибки от числа испытаний.

Можно сравнить 10³, 10⁴ и 10⁵.

Так видно, сколько вычислений нужно для заданной точности.

Графовые задачи

Опишите тип графа:

• ориентированный;
• взвешенный;
• связный;
• sparse/dense.

Не сравнивайте алгоритмы на одном случайном маленьком графе.

Сгенерируйте несколько классов.

Алгоритмическая сложность

Теория:

O(n log n).

Эксперимент:

время при n = 10³, 10⁴, 10⁵.

Сопоставьте одно с другим.

Если график не соответствует ожиданию, объясните кеш, overhead или структуру входа.

Baseline

У сложного метода должен быть простой ориентир.

Например:

• прямой расчёт;
• brute force;
• линейная модель;
• стандартная библиотека.

Без baseline сложно понять, что дал новый подход.

Машинное обучение

Если курсовая относится к анализу данных, разделите train, validation и test.

Не подбирайте параметры по test.

Это делает оценку оптимистичной.

Data leakage

Проверьте, не попадает ли в модель информация о будущем или test.

Типичные ошибки:

• нормализация на полном dataset;
• одинаковый объект в train и test;
• признак, вычисленный после события.

Утечка может дать красивую метрику и полностью бесполезную модель.

Математическая статистика

Если оценивается параметр, разделяйте истинный параметр, выборочную оценку, стандартную ошибку и доверительный интервал.

Не называйте оценку точным значением.

Визуализация

Полезные графики:

• ошибка от шага;
• время от размера;
• objective от итерации;
• распределение ошибки;
• чувствительность к параметру.

Одна визуализация должна отвечать на один вопрос.

Воспроизводимость

Зафиксируйте версии библиотек, seed, параметры, dataset и команду запуска.

Для МФТИ это особенно уместно: вычислительный результат должен быть повторяемым.

Репозиторий

Структура:

• src;
• tests;
• experiments;
• data reference;
• README.

Не складывайте всё в один notebook.

Теория и эксперимент должны совпадать

Если в теории предполагается независимость наблюдений, а данные временные, есть проблема.

Если метод рассчитан на положительно определённую матрицу, проверьте условие.

Не используйте теорему только потому, что она знакома.

Практическая глава

Хорошая последовательность:

1. постановка;
2. математическая модель;
3. метод;
4. реализация;
5. контрольный пример;
6. серия экспериментов;
7. оценка ошибки;
8. производительность;
9. ограничения.

Контекст МФТИ

На ФПМИ в 2026 году ПМИ является официальным направлением, а набор программ внутри него широкий - от математики до ИИ и анализа данных.

Поэтому конкретная курсовая должна быть привязана к своей дисциплине, а не к общему названию направления.

Защита

Будьте готовы объяснить модель, вывести ключевую формулу, назвать условия метода, показать baseline, объяснить погрешность и область применимости.

Сильная курсовая по ПМИ в МФТИ показывает, почему вычислительному результату можно доверять, а не только то, что программа вывела число.