Курсовая по прикладной математике и информатике в НИЯУ МИФИ: киберфизические системы, data science и вычислительная проверка

Курсовая по прикладной математике и информатике в НИЯУ МИФИ может идти по двум очень естественным траекториям. В актуальном перечне направления 01.03.02 указаны программы «Математическое и программное обеспечение киберфизических систем» и «Математика и науки о данных».

Официальная страница:
https://admission.mephi.ru/admission/baccalaureate-and-specialty/education/programs/all/view/110

Это сразу задаёт характер хорошей работы: строгая математическая постановка плюс вычислительный эксперимент.

Выберите тип задачи

Киберфизическая:

• model dynamics;
• control;
• sensor;
• estimation.

Data science:

• statistical model;
• prediction;
• clustering;
• anomaly detection.

Не смешивайте всё в одной курсовой.

Формальная постановка

Запишите:

• variables;
• parameters;
• constraints;
• objective;
• assumptions.

Читатель должен понять задачу до кода.

Киберфизическая модель

Например:

x_dot = f(x,u,w)

где:

• x - состояние;
• u - управление;
• w - возмущение.

Опишите физический смысл каждой переменной.

Дискретная модель

Если расчёт цифровой, continuous model нужно дискретизировать.

Шаг времени влияет на:

• accuracy;
• stability;
• computation.

Не выбирайте dt без проверки.

Сходимость

Сравните:

dt
dt/2
dt/4.

Если результат стабилизируется, это аргумент в пользу numerical validity.

Численная устойчивость

Метод может формально сходиться, но плохо вести себя при ошибке данных.

Добавьте небольшое perturbation.

Смотрите, насколько меняется output.

Аналитический benchmark

Для простого режима найдите точное решение.

Например:

• linear case;
• no disturbance;
• steady state.

Сравните numerical result.

Data science

Если тема про данные, начните не с модели, а с структуры dataset.

Проверьте:

• missing;
• outlier;
• class balance;
• time dependence.

Математическая модель должна соответствовать данным.

Probability model

Если предполагается распределение, проверьте его разумность.

Не используйте normal distribution только потому, что формулы удобны.

Оценка параметров

Разделяйте:

• true parameter;
• estimate;
• standard error.

Не называйте estimate точным значением.

Regression

Для модели объясните coefficients.

Не ограничивайтесь p-value.

Покажите:

• sign;
• magnitude;
• uncertainty.

Regularization

L1/L2 меняют bias-variance trade-off.

Проведите validation по parameter.

Не выбирайте lambda после просмотра test.

Optimization

ML и многие математические задачи требуют optimisation.

Покажите:

• loss;
• gradient;
• step;
• stopping.

Не скрывайте весь метод внутри library call.

Gradient check

Для собственной реализации можно сравнить analytical gradient с finite difference.

Это полезная проверка.

Local optimum

Невыпуклая функция может иметь разные результаты от initial point.

Проведите multiple starts.

Не утверждайте глобальность без основания.

Sparse systems

Киберфизические и сетевые задачи часто дают sparse matrix.

Сравните:

• dense memory;
• sparse memory;
• solver time.

Не храните миллион нулей.

Graph model

Для network system задайте:

• nodes;
• edges;
• weights.

Покажите, что означает graph physically.

Не используйте network science как красивую визуализацию.

State estimation

Для системы с неполным измерением можно использовать observer или Kalman filter.

Но сначала определите:

• state;
• measurement;
• noise.

Матрицы должны иметь смысл.

Kalman filter

Проверьте:

• prediction error;
• estimate error;
• sensitivity to Q/R.

Не показывайте только гладкую линию.

Control

Если добавляется controller, оцените:

• tracking error;
• settling time;
• control effort.

Лучший tracking может требовать невозможного u.

ML split

Для data science:

• train;
• validation;
• test.

Если данные временные, split тоже должен быть временным.

Не перемешивайте будущее в прошлое.

Baseline

Сложный algorithm сравните с простым:

• linear;
• mean;
• heuristic;
• standard solver.

Без baseline невозможно оценить ценность.

Feature engineering

Признак должен быть доступен в момент применения.

Если он вычисляется после target event, это leakage.

Метрики

Для regression:

• MAE;
• RMSE.

Для classification:

• precision;
• recall;
• F1.

Для state estimation:

• RMSE state.

Метрика должна соответствовать вопросу.

Uncertainty

Не ограничивайтесь одним числом.

Можно использовать:

• confidence interval;
• spread over seeds;
• sensitivity.

Математическая работа особенно выигрывает от явной неопределённости.

Computational cost

Покажите:

• runtime;
• memory;
• iterations.

Более точный метод может быть непрактично дорогим.

Это нормальный trade-off.

Hardware

Если performance является результатом, укажите CPU/GPU.

Без этого сравнение времени трудно повторить.

Reproducibility

Зафиксируйте:

• code version;
• library versions;
• seed;
• parameters;
• data source.

График должен воспроизводиться скриптом, а не ручными действиями.

Verification vs validation

Verification:

правильно ли решаются equations?

Validation:

адекватна ли модель реальному объекту?

Не смешивайте эти два вопроса.

Model limitation

Например:

• neglect heat loss;
• Gaussian noise;
• stationary process.

В конце вернитесь к assumptions.

Покажите, где они могут нарушаться.

Практическая глава

Схема:

1. task;
2. math model;
3. algorithm;
4. implementation;
5. verification;
6. experiment;
7. metrics;
8. sensitivity;
9. computational cost;
10. limits.

Контекст НИЯУ МИФИ

Текущие программы ПМИ в МИФИ прямо соединяют математику с киберфизическими системами и науками о данных.

Поэтому курсовая особенно сильна, если математический аппарат не существует отдельно от вычислительной проверки.

Защита

Будьте готовы написать модель, назвать assumption, показать контрольный пример, метрику ошибки, sensitivity и вычислительную стоимость.

Сильная курсовая по ПМИ в НИЯУ МИФИ отвечает не только на вопрос «какой ответ получен», но и на вопрос «почему этому ответу можно доверять».