Курсовая по прикладной математике и информатике в СПбГУ: модель, программирование и вычислительный эксперимент

Курсовая по прикладной математике и информатике в СПбГУ может заметно отличаться в зависимости от программы. В актуальном наборе 2026 года по направлению ПМИ есть «Математика и прикладная математика», «Прикладная математика, процессы управления и искусственный интеллект», «Прикладная математика, современное программирование и искусственный интеллект» и программа «Современное программирование».

Официальный список:
https://cabinet.spbu.ru/Lists/ForeignersLists/bak/index_comp_groups.html

Поэтому ПМИ в СПбГУ не стоит сводить только к численным методам. Курсовая может быть математической, алгоритмической, программной, связанной с управлением или искусственным интеллектом.

Найдите математическое ядро

У темы должен быть объект формализации.

Например:

• система дифференциальных уравнений;
• граф;
• оптимизационная задача;
• временной ряд;
• динамическая система;
• вероятностная модель.

Плохо:

«Использование Python в прикладной математике».

Python здесь только инструмент.

Постановка

Чётко задайте входные данные, неизвестные, ограничения, критерий решения и параметры.

Если задача сформулирована туманно, код будет решать непонятно что.

Модель

Покажите, какие свойства реального объекта вы оставляете.

Например:

• линейность;
• стационарность;
• независимость;
• постоянные коэффициенты.

Отдельно перечислите то, что модель не учитывает. Это понадобится в выводах.

Тест размерности

Для физической модели проверьте единицы.

Это простой контроль формул.

Даже сложная нейросеть не спасает модель, где секунды случайно складываются с метрами.

Контрольный случай

До большого эксперимента возьмите пример с известным ответом.

Например:

• аналитическое решение;
• симметричный случай;
• малая размерность.

Если метод не воспроизводит этот случай, его рано применять к сложным данным.

Алгоритм

Опишите алгоритм словами или псевдокодом.

Нужно понимать инициализацию, шаг, условие, остановку и результат.

Не используйте листинг как единственное объяснение.

Сложность

Оцените время и память.

Если n - число вершин или объектов, напишите это.

Фраза O(n²) без определения n выглядит формально.

Экспериментальная сложность

После теории измерьте runtime для нескольких n.

Например:

10³
10⁴
10⁵.

Сопоставьте рост с ожидаемой сложностью.

Если график не соответствует ожиданию, объясните кеш, overhead или структуру входа.

Численный метод

Если решение приближённое, нужно измерять погрешность.

Варианты:

• абсолютная;
• относительная;
• residual;
• norm.

Не называйте ответ «точным» только потому, что программа завершилась.

Grid convergence

Для задачи на сетке сравните несколько шагов.

Если при уменьшении шага ответ меняется на десятки процентов, окончательный вывод делать рано.

Устойчивость

Небольшое возмущение входных данных не должно создавать необъяснимый огромный скачок результата, если задача ожидается устойчивой.

Проведите sensitivity test.

Обусловленность

Для линейной системы полезно оценить condition number.

Если она плохо обусловлена, высокая машинная точность не гарантирует точный результат.

Оптимизация

При сравнении методов используйте одинаковые objective, constraint, start и stopping rule.

Иначе сравнение нечестное.

Невыпуклая задача

Проведите несколько запусков из разных точек.

Если ответы различаются, это часть результата.

Не выдавайте один local optimum за глобальный.

Стохастика

Для случайного алгоритма фиксируйте seed.

Но один seed не должен быть единственным результатом.

Покажите несколько запусков и разброс.

Управление

Если программа связана с процессами управления, задайте state, input, output и disturbance.

Потом выбирайте controller.

Не начинайте с PID без модели объекта.

State-space

Для линейной системы:

x_dot = Ax + Bu
y = Cx + Du.

Объясните физический смысл state variables.

Устойчивость системы

Можно анализировать eigenvalues или другой критерий курса.

Не ограничивайтесь визуальным графиком одного переходного процесса.

Искусственный интеллект

Если работа относится к AI, математическая часть должна оставаться содержательной.

Например:

• loss;
• regularization;
• optimization;
• probability;
• generalization.

Не заменяйте математику одной командой обучения библиотеки.

Train/validation/test

Разделите данные до экспериментов.

Не используйте test для выбора гиперпараметров.

Если это произошло, финальная оценка перестаёт быть независимой.

Baseline

Для AI и алгоритмических задач простой baseline обязателен.

Например:

• linear;
• nearest neighbor;
• heuristic;
• standard solver.

Если сложный метод выигрывает мало, это нужно обсудить.

Data leakage

Особенно опасно:

• одинаковый объект в train и test;
• preprocessing по полному набору;
• признак из будущего.

Проверьте pipeline.

Метрики

Для классификации:

• precision;
• recall;
• F1.

Для регрессии:

• MAE;
• RMSE.

Для оптимизации:

• objective;
• gap;
• runtime.

Не используйте универсальную accuracy для любой задачи.

Современное программирование

Если курсовая относится к программе «Современное программирование», математическое направление не отменяет инженерное качество кода.

Покажите модульность, tests, version control и reproducible build.

Репозиторий

Полезная структура:

src
tests
experiments
README
requirements.

Не храните все эксперименты в одном бесконечном notebook.

Reproducibility

Зафиксируйте versions, parameters, seed, input data и hardware, если важна скорость.

Другой человек должен повторить ключевой график.

Вывод

Слабый:

«Метод показал хорошие результаты».

Сильный:

«Метод A дал меньшую ошибку при малом шаге, но требовал в 3,2 раза больше времени на выбранном наборе задач».

Вывод должен содержать измеримый trade-off.

Практическая глава

Можно построить:

1. постановка;
2. модель;
3. алгоритм;
4. реализация;
5. контрольный пример;
6. эксперимент;
7. погрешность;
8. производительность;
9. ограничения.

Контекст СПбГУ

В 2026 году внутри ПМИ СПбГУ есть несколько разных программ, от классической математики до управления, программирования и AI.

Конкретная курсовая должна следовать своей программе и дисциплине, а не усреднённому шаблону ПМИ.

Защита

Будьте готовы записать модель, объяснить алгоритм, показать контрольный пример, назвать погрешность, показать baseline и объяснить ограничение.

Сильная курсовая по ПМИ в СПбГУ соединяет математическую строгость и воспроизводимый вычислительный результат.